7                FINITE-ELEMENT-FORMULIERUNG

Die tangentiale Steifigkeitsmatrix des geometrisch nichtlinearen, physikalisch linearen isoparametrischen finiten Schalenelementes wird unter Verwendung der virtuellen inneren Arbeit (13) durch Einführung einer Diskretisierung gewonnen. Dazu werden die Verschiebungen  in (7) durch LAGRANGE-Polynome  zwischen den auf das raumfeste kartesische Koordinatensystem bezogenen Elementknotenverschiebungen  interpoliert:

                                                                                                                    (25)

An dieser Stelle soll vereinbart werden, daß bei Auftreten von zwei in einem Term oben vorangestellten Indizes über die Knotenanzahl und bei unten vorangestellten entsprechend (7) nach beliebigem Reihenabbruch über die Anzahl der Reihenglieder zu summieren ist. Für die durch (11) eingeführten nichtlinearen Verzerrungsmaße läßt sich somit schreiben:

,                                                                                                      (26)

worin  jeweils die mit den zugehörigen Verschiebungen verknüpften Anteile der Verzerrungsmaße sind, die die Transformationskoeffizienten  enthalten und wie  Funktionen der Verschiebungen sind. Führt man (26) in die innere Arbeit in (14) ein und führt dann eine Variation nach den Elementknotenverschiebungen aus, entstehen innere Knotenkräfte:

                                                                                              (27)

Die tangentiale Steifigkeitsmatrix ergibt sich zu:

                               (28)

Mit (17) und (26) können die Maßzahlen des zweiten PIOLA-KIRCHHOFF-Spannungstensors  wie folgt berechnet werden:

                                                                                                                (29)

womit die tangentiale Steifigkeitsmatrix in nachstehende Form übergeht:

                           (30)

Wie im vorausgegangenen dargelegt, gehen die bisherigen Herleitungen vom Prinzip der virtuellen Arbeiten (13) aus. Eine anschließende Behandlung des Variationsproblems führt demzufolge auf Verschiebungselemente, die die bekannten Versteifungsprobleme (Locking-Effekte) aufweisen. Insbesondere seien nach /1/ an dieser Stelle die folgenden genannt:

POISSON-Dickenlocking tritt danach bei 5- und 6-Parameter-Schalenformulierungen auf und ist nicht mit dem Dickenlocking-Effekt bei gekrümmten Elementen nach /5/ zu verwechseln. Es ist eine Folge der unterdrückten Dickenelastizität. Beim Querschublocking treten bei z.B. reiner Biegung eines Plattenelementes parasitäre Spannungen, d.h. Spannungen, die in der dreidimensionalen exakten Lösung des Problems nicht vorhanden sind, auf. Das Membranlocking tritt bei dehnungslosen Verformungen von Schalen, demzufolge nur bei gekrümmten Flächentragwerken, auf und führt ebenfalls zu parasitären Membranspannungen. Schublocking ist von Bedeutung, wenn in der Referenzfläche eine Art „Biegebeanspruchung“ stattfindet, wie sie beispielsweise bei der Berechnung eines wandartigen Trägers mit Scheibenelementen vorliegt. Volumetrisches Locking, auch POISSON-Locking genannt, entsteht, wenn die Querkontraktionzahl  gegen  geht. Für  tritt dieser Locking-Effekt nicht auf. Das nur bei Schalen mit möglicher Dickenänderung und bei Zugrundelegung einer Differenzvektorformulierung mit gemitteltem Direktor auftretende Dickenlocking äußert sich in parasitären Normalspannungen in Dickenrichtung.

Die aus den verschiedensten Locking-Effekten resultierenden parasitären Spannungen führen zu einer Überschätzung der inneren Energie und somit zu einer Überschätzung der Steifigkeit des finiten Elementes. Zur Beseitigung bzw. zur Reduzierung der Locking-Effekte sind in der Literatur eine Vielzahl von Methoden angegeben. Viele von ihnen beruhen auf der Erweiterung des zugrundeliegenden Funktionals, z.B. auf der Erweiterung zum Mehrfeldfunktional nach HU-WASHIZU. Hierdurch wird es möglich, nicht nur Ansätze für die Verschiebungen zu machen, sondern auch inkompatible Ansätze für die Spannungen und ggf. auch für die Verzerrungen, wie dies in der Enhanced-Assumed-Strain-Method (EAS) der Fall ist.