6                MATERIALGESETZ

Aufgrund der gewählten Kinematik ist es uneingeschränkt möglich, dreidimensionale Materialgesetze, die auf dem GREEN-LAGRANGE-Verzerrungstensor (9) beruhen, zu verwenden.

Bild 3:       Definition des lokalen Materialkoordinatensystems

Tabelle 1: Materialkonstanten für orthotropes Material

Wenn der inneren Energie ein Potential zugrunde liegt, lassen sich die PIOLA-KIRCHHOFF-Spannungen  im Falle eines linearen Materialgesetzes und vorausgesetzter Spannungsfreiheit im unverformten Zustand aus folgender Beziehung bestimmen:

                                                                                                                              (17)

Speziell im Hinblick auf die Anwendung soll linear-elastisches, orthotropes Material Verwendung finden. Im orthonormalen Materialkoordinatensystem  mit den Basisvektoren  nach Bild 3 gilt /2/:

                                                                                           (18)

Hierin sind die Maßzahlen des Materialtensors orthotropen Materials, die sich mit Hilfe

der Konstanten, vgl. Tabelle 1, und der Abkürzung:

                                                                           (19)

wie folgt angeben lassen:

                      (20)

Alle weiteren nicht aufgeführten Maßzahlen des Materialtensors  sind identisch Null. Zur Transformation des Materialgesetzes in die Basis  des Schalenraumes B  muß die Lage der Materialhauptrichtungen festgelegt werden. Hierzu wird in einem beliebigen Punkt  von B  (vgl. Bild 3) in der durch  und  aufgespannten Tangentialebene durch den Winkel  die Lage der ersten Materialhauptrichtung  festgelegt. Die Transformation des Basisvektors  in  läßt sich durch die Transformation bei Berücksichtigung der Normierung von  wie folgt angeben:

                                         (21)

Die zweite Materialhauptrichtung  liege ebenfalls in der von  und aufgespannten Tangentialebene, aber um den Winkel  weiter gedreht. Es ergibt sich:

                                     (22)

Aus der Forderung, daß das Materialkoordinatensystem ein orthonormales Rechtssystem bilden soll, folgt für die dritte Materialhauptrichtung:

.                                                                                                              (23)

Nun kann das Materialgesetz in die Basis  transformiert werden:

                                                                                                 (24)