2                GEOMETRIE  DES  UNVERFORMTEN  SCHALENKÖRPERS

Im folgenden sollen die die Geometrie beschreibenden Beziehungen zur Klärung der Nomenklatur entwickelt werden. Weitergehende Ausführungen können /7/ entnommen werden. Die Punkte des dreidimensionalen EUKLIDischen Raumes  werden durch die Einführung eines raumfesten kartesischen Koordinatensystems mit den Koordinaten  identifiziert. Im weiteren sollen lateinische Indizes die Werte  und griechische Indizes die

Bild 1:       Differentialgeometrie des Schalenkörpers

Werte  annehmen. Ferner sei die EINSTEINsche Summationskonvention vereinbart. Darüber hinaus wird ein krummliniges, konvektives Koordinatensystem mit den Koordinaten  eingeführt, vgl. Bild 1. Zwischen diesem und dem raumfesten kartesischen Koordinatensystem bestehe eine umkehrbar eindeutige Transformation der Form , wobei die zugehörige Funktionaldeterminante stets größer Null sein soll. Es wird ein dreidimensionaler unverformter Schalenkörper B  betrachtet, der in den EUKLIDischen Raum  eingebettet ist und durch die Schalenlaibungen und die Schalenberandung begrenzt wird. Die Parametrisierung der materiellen Punkte erfolgt mittels der konvektiven Koordinaten . Hierdurch ist der Ortsvektor  zu einem materiellen Punkt in B  eingeführt. Innerhalb von B  läßt sich für  eine Schalenreferenzfläche S definieren, die durch die Koordinaten  parametrisiert wird. Für die differentialgeometrische Beschreibung des Schalenkörpers hat es sich als zweckmäßig erwiesen, Normalenkoordinaten zu verwenden, die sich dadurch auszeichnen, daß die Koordinatenlinie  orthogonal zur Schalenreferenzfläche verläuft und zusätzlich mit der Bogenlänge in dieser Richtung übereinstimmt. Die Koordinate  ist im Intervall  definiert, wobei  und  gilt. Hierin ist  die leicht veränderliche Schalendicke. Wird speziell eine Schalenlaibung als Referenzfläche gewählt, so ist  oder . Im Rahmen der technischen Anwendung (textilbewehrter Beton) wird die Schalendicke im Bereich  liegen. Nun lassen sich alle notwendigen differentialgeometrischen Größen, die zur kontinuumsmechanischen Beschreibung notwendig sind, zusammenstellen. Die kovarianten Basisvektoren werden durch  und die kontravarianten durch  bestimmt. Dabei symbolisiert das Komma die partielle Ableitung nach . Somit ist auch der Metriktensor  sowie das Volumenelement  mit  bekannt. Der Gradient eines Tensors 1. Stufe  ergibt sich wie folgt:

                                            (1)

mit den CHRISTOFFELsymbolen . Es symbolisiert die kovariante Ableitung. Neben dem Tangentialraum an B wird zusätzlich noch der Tangentialraum der Schalenreferenzfläche S  benötigt. Analog zu den obigen Ausführungen ergeben sich hier die Basisvektoren  und , die Metrik , das Flächenelement  mit , wobei  der Ortsvektor der Referenzfläche S  ist. Um auch Tensoren mit Komponenten senkrecht zur Schalenreferenzfläche zerlegen zu können, wird durch  ein dritter Basisvektor eingeführt. Dieser besitzt, da Normalenkoordinaten benutzt werden, die folgenden Eigenschaften: ,  und . Für die partiellen Ableitungen der kovarianten Basisvektoren gelten die Ableitungsgleichungen von GAUSS und WEINGARTEN:

     und                                                                       (2)

mit den CHRISTOFFELsymbolen  und dem Krümmungstensor der Fläche . Der Gradient eines Flächentensors 1. Stufe  ergibt sich dann wie folgt:

.                                    (3)

Zur Abkürzung für die kovariante Ableitung an der Stelle der Schalenreferenzfläche wurde eingeführt. Der Ortsvektor eines materiellen Punktes im Schalenraum B  läßt sich durch  darstellen, woraus sich die Zusammenhänge  und  mit  ergeben. Es gilt ferner  , womit dann:

                                                                                       (4)

folgt. Aus (1) und (3) läßt sich folgende Idendität herleiten /4/:

                                                                                                              (5)

           

                             .