ZUR HERLEITUNG EINER OBERFLÄCHENORIENTIERTEN SCHALENTHEORIE UND DEREN UMSETZUNG IM RAHMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE

Jan Matheas, Rainer Schlebusch, Bernd W. Zastrau
Lehrstuhl für Mechanik, TU Dresden

Zusammenfassung

Es wird auf der Grundlage der Approximation des Verschiebungsfeldes durch ein beliebiges Funktionensystem eine allgemeine Multi-Direktor-Schalentheorie präsentiert. Damit können durch die entwickelte Schalentheorie Schubverformungen, Dickenänderungen und Querschnittsverwölbungen erfaßt werden. Die zumindest lineare Dickenänderung liefert die Möglichkeit, beliebige dreidimensionale Materialgesetze zu verwenden, wobei in dieser Theorie ein linear orthotropes Material Verwendung findet. Ferner wird das Prinzip der virtuellen Arbeit benutzt, um im Sinne einer Energie zu den Verzerrungen konjugierte Kraftgrößen vom PIOLA-KIRCHHOFF-Typ herzuleiten und um ein isoparametrisches finites Schalenelement zu entwickeln. Abschließend wird die Anwendbarkeit einer oberflächenorientierten Schalentheorie anhand eines numerischen Beispiels gezeigt, bei dem ein kubischer Ansatz für das Funktionensystem angewandt wird.

1                EINFÜHRUNG

Der Einsatz von textilen Strukturen zur Ertüchtigung ist im allgemeinen auf die Oberfläche eines Bauteils beschränkt. Da die im Interface zwischen Alt- und Neukonstruktion auftretenden Spannungen sicher eine der kritischsten Beanspruchungen der Verbundkonstruktion darstellen, ist die Wahl eines mechanischen Modells mit der Referenzfläche im Interface naheliegend. Zur Bemessung der applizierten Verstärkungsschicht aus Textilbeton und zur Führung eines Bruchsicherheitsnachweises des Bauteils auf numerischem Weg wird im Rahmen der Anwendung der Finite-Element-Methode ein finites Flächentragwerkselement auf der Grundlage einer konsistenten oberflächenorientierten Schalentheorie entwickelt. Abweichend von den klassischen Theorien, die sich auf die Schalenmittelfläche beziehen, bieten oberflächenorientierte Theorien besonders im Hinblick auf die Untersuchung von Kontaktproblemen einige Vorteile. So können z.B. die oben angesprochenen Kontaktprobleme ohne die sonst übliche Schwierigkeit der Abbildung von der Schalenmittelfläche auf die Schalenoberfläche erfaßt werden. Die Diskretisierung der Kontaktoberflächen kann hier im Gegensatz zur klassischen Betrachtungsweise bei der Optimierung, z.B. der Materialausnutzung, unverändert bleiben, lediglich die auf die Oberfläche bezogenen Elementmatrizen müssen iterativ verändert werden. Außerdem können Singularitäten, z.B. infolge von Unstetigkeiten in der Belastung der Oberfläche, direkt am Ort ihres Auftretens erfaßt werden.